Simpson's rule과 일반화

2016. 6. 5. 21:54수학/기타

Simpson's rule은 다음과 같이 근사한다.
$$ \int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{6} \left [ f(a)+4f(\frac{a+b}{2})+f(b) \right ]$$
이는 \(f(a), f(\frac{a+b}{2}), f(b)\)를 각각의 \(x\)좌표에서 지나는 이차 함수를 적분한 것이다.
(참고로 세 점을 지나는 이차함수는 Lagrange의 방법을 통해 최대 하나로 결정된다.)

정확히 중점에서의 값을 아는 것이 아니면 어떻게 할까?
먼저 \(f(0),f(r),f(1)\)을 사용해서 구해보자.
\(f(x)=ax^{2}+bx+f(0)\)라고 하자.
$$ \begin{cases}a&+b&=f(1)-f(0), \\ ar^{2}&+br&=f(r)-f(0), \end{cases} $$
\(b\)를 소거하고 정리하면
$$ a=\frac{1}{r}f(0)-\frac{1}{r(1-r)}f(r)+\frac{1}{1-r}f(1) $$
위의 식을 쓰면
$$ b= \frac {-r-1}{r}f(0) + \frac{1}{r(1-r)}f(r)-\frac{r}{1-r}f(1) $$
이제 \(\int_0^1 f(x)dx=\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}b+f(0)\)를 정리하면
$$ \int_0^1 f(x)dx=\frac{3r-1}{6r}f(0) + \frac{1}{6} \frac{1}{r(1-r)}f(r) + \frac{2-3r}{6(1-r)}f(1) $$

이제 일반화시켜보자.
\(\int_a^c g(x)dx\)를 \(f\)와 관련있게 만들어보자.
\(u=\frac{x-a}{c-a}\)일 때,
$$ \int_a^c g(x)dx=\int_0^1 f(u)du \cdot \frac{dx}{du} = (c-a) \left( \frac{3r-1}{6r}g(a) + \frac{1}{6} \frac{1}{r(1-r)}g(b) + \frac{2-3r}{6(1-r)}g(c) \right ) $$
(이 때, \(r=\frac{b-a}{c-a}\))

찾아보면 식이 있겠지만 잘 안 나오는 것 같아서 직접 계산했다...

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